¿Cuantas diagonales tiene un polígono regular?, vamos a contarlas. Un polígono de /$n/$ lados tiene /$n/$ vértices (o esquinas), de cada vértice podemos trazar /$n-1/$ líneas, una a cada uno de los /$n-1/$ vértices restantes, de esas líneas /$2/$ son lados, por tanto las restantes /$n-3/$ son diagonales.
Ahora, por cada vértice tenemos /$n-3/$ diagonales, PERO CUIDADO, cada diagonal llega a dos vértices, por tanto tendremos que dividir entre dos, así que en total tenemos /$\frac{n(n-3)}{2}/$
Queremos el polígono con el doble de diagonales que de lados, entonces si nuestro polígono tiene /$n/$ lados, debe de tener /$2n/$ diagonales, así:
\begin{eqnarray*} 2n &=& \frac{n(n-3)}{2}\\ 4n &=& n(n-3)\\ 4n &=& n^2 - 3n\\ 0 &=& n^2 - 7n\\ 0 &=& n(n-7) \end{eqnarray*} La última igualdad nos dice que lo que pedimos es cierto cuando /$n=0/$ y cuando /$n=7/$, como un polígono no puede tener cero lados, entonces la única posibiliad y respuesta a este ejercício es que El heptágono tiene siete lados y catorce diagonales
Ahora, por cada vértice tenemos /$n-3/$ diagonales, PERO CUIDADO, cada diagonal llega a dos vértices, por tanto tendremos que dividir entre dos, así que en total tenemos /$\frac{n(n-3)}{2}/$
Queremos el polígono con el doble de diagonales que de lados, entonces si nuestro polígono tiene /$n/$ lados, debe de tener /$2n/$ diagonales, así:
\begin{eqnarray*} 2n &=& \frac{n(n-3)}{2}\\ 4n &=& n(n-3)\\ 4n &=& n^2 - 3n\\ 0 &=& n^2 - 7n\\ 0 &=& n(n-7) \end{eqnarray*} La última igualdad nos dice que lo que pedimos es cierto cuando /$n=0/$ y cuando /$n=7/$, como un polígono no puede tener cero lados, entonces la única posibiliad y respuesta a este ejercício es que El heptágono tiene siete lados y catorce diagonales
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