En la tienda de la esquina el precio del kilogramo de jamón subió 12 pesos. Después se puso en oferta con un descuento del 20%, con lo que el precio quedó igual a como estaba antes de que lo subieran. ¿Cuánto costaba antes del aumento de precio?
domingo, 29 de mayo de 2011
Solución 5.6
Sea n el número de miembros de la família Quintos sin contar al papá. Por otro lado, sea x la suma de las edades de la família Quintos sin contar al papá.
Así:
- El promedio de las edades sin contar al papá es de 14 se traduce como: x/n=14
- El promedio de las edades de toda la família es de 18 años: (x+38)/(n+1)=18
Solución:
- De la primera ecuación, se despeja x quedando x=14n
- Se sustituye el valor anterior en la segunda ecuación quedando (14n+38)/(n+1)=18
- Despejamos n:
____ 14n+38=18(n+1)
____ 14n+38=18n+18
____ 20=4n
____ n=20/4
____ n=5
Como n es el número de personas en la familia sin contar al padre. Entonces la familia tiene un total de seis personas siendo esta la solución.
Así:
- El promedio de las edades sin contar al papá es de 14 se traduce como: x/n=14
- El promedio de las edades de toda la família es de 18 años: (x+38)/(n+1)=18
Solución:
- De la primera ecuación, se despeja x quedando x=14n
- Se sustituye el valor anterior en la segunda ecuación quedando (14n+38)/(n+1)=18
- Despejamos n:
____ 14n+38=18(n+1)
____ 14n+38=18n+18
____ 20=4n
____ n=20/4
____ n=5
Como n es el número de personas en la familia sin contar al padre. Entonces la familia tiene un total de seis personas siendo esta la solución.
sábado, 21 de mayo de 2011
Problema 5.6
La edad promedio de los miembros de la familia Quintos es de 18 años. Si sabemos que el papá tiene 38 años y que el promedio de las edades de los miembros de la familia sin contarlo a él es de 14 años. ¿cuántos miembros tiene la familia Quintos?
Solución 5.5
Cada hombre saluda al menos a otros hombre, por tanto, tenemos un mínimos de dos varones en la reunión. Análogamente, siguiendo el mismo razonamiento, tendremos como mínimo, un par de damiselas. Por tanto asistieron un mínimo de cuatro personas, a saber, dos hombres y dos mujeres.
domingo, 15 de mayo de 2011
Problema 5.5
En una reunión cada persona saludó al menos a un hombre y al menos a una mujer. Si cada persona saluda a todas las demás, ¿Cuál es la menor cantidad posible de personas en la reunión?
Solución 5.4
Para solucionar este problema, el mejor método que podemos utilizar es el de "divide y venzerás".
Sabemos que entre todos los dígitos utilizados debend de ser 2004. Ahora, las páginas numeradas con numeros de un dígitos (1..9) utilizan un dígito por página, las páginas del 10 al 99 utilizan dos dígitos por página, de la 100 a la 999 utilizan tres y así sucesivamente. Por tanto solo tenemos que calcular en qué número acumulamos 2004.
a) 1..9 son 9-1+1=9 páginas y por tanto nueve dígitos (¿por qué sumamos un 1 al final?)
b) 10..99 son 99-10+1=90 páginas, en estas utilizamos dos dígitos por hoja, con lo cual tenemos 90*2=180 dígitos y un total de 180+9=189 dígitos.
c) 100..999 son 999-100+1=900 números, usamos 900*3=2700 dígitos y llevamos acumulados 2700+180+9=2889.
Es obvio que nos hemos pasado, sin embargo sabemos que el libro tiene más de cien páginas pero menos de mil. Sea x el número de páginas de tres dígitos, entonces usamos un total de (9*1)+(90*2)+(x*3)=2004
Simplificando: 9+180+x*3=2004
Simplificando: 189+x*3=2004
Simplificando: x*3=1815
Despejando: x=605
Ahora si y es la última página de tres dígitos utilizada, entonces y-100+1=605, por tanto y=704.
Solución: El libro tiene 704 páginas.
Sabemos que entre todos los dígitos utilizados debend de ser 2004. Ahora, las páginas numeradas con numeros de un dígitos (1..9) utilizan un dígito por página, las páginas del 10 al 99 utilizan dos dígitos por página, de la 100 a la 999 utilizan tres y así sucesivamente. Por tanto solo tenemos que calcular en qué número acumulamos 2004.
a) 1..9 son 9-1+1=9 páginas y por tanto nueve dígitos (¿por qué sumamos un 1 al final?)
b) 10..99 son 99-10+1=90 páginas, en estas utilizamos dos dígitos por hoja, con lo cual tenemos 90*2=180 dígitos y un total de 180+9=189 dígitos.
c) 100..999 son 999-100+1=900 números, usamos 900*3=2700 dígitos y llevamos acumulados 2700+180+9=2889.
Es obvio que nos hemos pasado, sin embargo sabemos que el libro tiene más de cien páginas pero menos de mil. Sea x el número de páginas de tres dígitos, entonces usamos un total de (9*1)+(90*2)+(x*3)=2004
Simplificando: 9+180+x*3=2004
Simplificando: 189+x*3=2004
Simplificando: x*3=1815
Despejando: x=605
Ahora si y es la última página de tres dígitos utilizada, entonces y-100+1=605, por tanto y=704.
Solución: El libro tiene 704 páginas.
domingo, 8 de mayo de 2011
Problema 5.4
Para numerar las páginas de un libro fue necesario utilizar 2004 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Tareas 2-4 de mayo
Hola a todas.
He aquí la lista de tareas que se dejaron en la semana.
2 & 4 de mayo: Terminar el ejemplo de algoritmo visto en clase.
3 de mayo: Pensar como modificar el programa que copia la cadena de caracteres a la entrada de tal manera que suprima los espacios en blanco que estén de más.
Para los tres grupos que tuvieron clase en dicha semana: La próxima clase les aplicaré el examen semestral.
Para todos los grupos: Recuerden que falta un mes para la entrega de su proyecto final, por tanto, la entrega de los avances de su proyecto ya es semanal.
He aquí la lista de tareas que se dejaron en la semana.
2 & 4 de mayo: Terminar el ejemplo de algoritmo visto en clase.
3 de mayo: Pensar como modificar el programa que copia la cadena de caracteres a la entrada de tal manera que suprima los espacios en blanco que estén de más.
Para los tres grupos que tuvieron clase en dicha semana: La próxima clase les aplicaré el examen semestral.
Para todos los grupos: Recuerden que falta un mes para la entrega de su proyecto final, por tanto, la entrega de los avances de su proyecto ya es semanal.
Solución 5.3
Primero debemos separar los números por paridades, con lo cual nos quedan dos conjuntos: pares={2,4,6,8} e impares={1,3,5,7,9}, claramente tenemos cinco impares y cuatro pares.
_____Por otro lado consideremos la cuadrícula de 3x3, es claro que en ella solo puede dividirse en una única manera de tal modo que cada grupo de cuadrados no compartan lados: el primer grupo está compuesto por las cuatro esquinas y el centro, el resto corresponde al segundo grupo.
_____Ahora sabemos donde tenemos que acomodar cada grupo: los impares en el primer grupo y los pares en el segundo. Para acomodar los impares podemos poner al primero en cualquiera de las cinco casillas, al segundo en alguna de las cuatro restantes y así sucesivamente, en total tenemos 5*4*3*2*1=120 maneras de acomodarlos. Análogamente para los pares tenemos 4*3*2*1=24 maneras.
_____Las maneras de acomodar los impares son independientes a las maneras de acomodar los pares, por tanto, existen 120*24 maneras de acomodar los números con las condiciones solicitadas.
_____Por otro lado consideremos la cuadrícula de 3x3, es claro que en ella solo puede dividirse en una única manera de tal modo que cada grupo de cuadrados no compartan lados: el primer grupo está compuesto por las cuatro esquinas y el centro, el resto corresponde al segundo grupo.
_____Ahora sabemos donde tenemos que acomodar cada grupo: los impares en el primer grupo y los pares en el segundo. Para acomodar los impares podemos poner al primero en cualquiera de las cinco casillas, al segundo en alguna de las cuatro restantes y así sucesivamente, en total tenemos 5*4*3*2*1=120 maneras de acomodarlos. Análogamente para los pares tenemos 4*3*2*1=24 maneras.
_____Las maneras de acomodar los impares son independientes a las maneras de acomodar los pares, por tanto, existen 120*24 maneras de acomodar los números con las condiciones solicitadas.
domingo, 1 de mayo de 2011
Problema 5.3
¿De cuántas formas se pueden acomodar los números del 1 al 9 en una cuadrícula de 3x3 de tal manera que no haya dos números de la misma paridad (par e impar) en casillas que compartan un lado?
Solución 5.2
La solución de este problema puede considerarse como una tabla de tres filas (persona, sueldo, auto) y seis columnas (una por cada persona). Cada uno de los puntos nos da una pista de como está constituida dicha tabla. Para facilitar más las cosas, una manera de obtener los datos precisos es ir ordenando la tabla, por ejemplo poner los que ganan más a la izquierda, y a la izquierda los que tienen salarios más bajos.
Por comodidad, eliminaré los últimos tres ceros de las cifras, esto no afecta en nada al desarrollo, simplemente se deben agregar al final y listo.
1. Emmanuel gana el doble que el propietario del Dodge y Guillermo el doble de lo que gana el propietario del Nissan. Puede traducirse así
Donde a y b representan el salario de alguna persona.
2. El que maneja el Chevrolet, gana $100,000 más que Jaime y el del Volkswagen, $100,000 más que Ana.
Donde c y d representan cantidades aún desconocidas.
3. Emmanuel no maneja el Volkswagen: De momento esta condición no nos muestra que forma tiene la tabla, sin embargo, más adelante veremos como nos servirá dicha información.
4. Mariela gana $50,000 y no maneja el Renault
* El que no maneje un Renault aún no lo podemos representar en este pedazo de tabla, sin embargo, nos servirá (al igual que el punto 3) como una pista para armar la respuesta como si de un rompecabezas se tratara.
5. El que manjera el Chevrolet gana el doble que Hortencia y ella $150,000 más que Ana.
Ahora comencemos a unir la tabla:
6. Observense cuidadosamente las tablas de los puntos 2 y 5, notarán que existen partes en común, de ellas se obtiene que 2x=c+100 y x+150=d. Antes de unirlas tendremos que hacer algunas conversiones para que los campos comunes sean todos iguales:
Antes de continuar, analizen los cambios hasta que estén seguros que los pequeños cambios que hemos hechos han dejado intacta la información que teníamos originalmente.
7. Unamos las tablas del punto cinco con las tablas del punto 6.
- Es obvio que que el propietario del volkswagen tiene que estar entre Hortencia y Ana pues x>x-50>x-150
- ¿Que pasa con Jaime? no tenemos una idea clara del valor de 2x-100 como para saber si debemos colocarlo entre el dueño del Chevrolet y Hortencia o entre Hortencia y el dueño del Volkswagen, por tanto, primero debemos de estimar el valor de x. Ana nos da una buena pista, ella gana x-150 y sabemos que nadie trabaja de a gratis, por tanto ese número debe de ser positivo, es decir, x-150gt;0, o despejando x>150.
_____Ahora, si Jaime se encontrara a la derecha de Hortencia, tendríamos que x>2x-100, de donde 100>x, lo cual ya sabemos falso (¡recuerden a Ana!). Por tanto, Jaime se encuentra a la izquierda de Hortencia.
8. Tratemos de ubicar ahora a Mariela, sabemos que gana 50, por tanto, su posición debe estar muy cerca del extremo derecho. Ya habíamos dicho que x es mayor a 150, así que x-50 es mayor a 100, por tanto, ella se encuentra a la derecha del poseedor del Volkswagen. Por otro lado, sabemos que el dueño del Volkswagen es Emmanuel o Guillermo, en cualquier caso, ellos ganan el doble que alguno de sus compañeros a la derecho, si fuera del caso de Mariela, tendríamos que x-50 es el doble de 50, es decir, 100, por tanto x=50 que es falso, por tanto ambos ganan más que el doble de Mariela y además x-50 es el doble de x-150:
9. Casi hemos logrado nuestro objetivo, solo nos faltan dos nombres y tres autos ¿Recuerdan el punto número 3?, Emmanuel no maneja el Volkswagen, por tanto el maneja el Chevrolet y quien gana la mitad que él (punto número 2) es quien maneja el Dodge.
10. Ahora podemos estar seguros que Guillermo gana 200 y Ana maneja el Nissan (ambas por el punto número 1). Como Mariela no maneja el Renault (punto 5), la única opción es que lo haga Jaime. Así Mariela tiene un Ford y hemos terminado.
Por comodidad, eliminaré los últimos tres ceros de las cifras, esto no afecta en nada al desarrollo, simplemente se deben agregar al final y listo.
1. Emmanuel gana el doble que el propietario del Dodge y Guillermo el doble de lo que gana el propietario del Nissan. Puede traducirse así
| Emmanuel | Guillermo | |||
| 2a | a | 2b | b | |
| Dodge | Nissan |
2. El que maneja el Chevrolet, gana $100,000 más que Jaime y el del Volkswagen, $100,000 más que Ana.
| Jaime | Ana | |||
| c+100 | c | d+100 | d | |
| Chevrolet | Volkswagen |
3. Emmanuel no maneja el Volkswagen: De momento esta condición no nos muestra que forma tiene la tabla, sin embargo, más adelante veremos como nos servirá dicha información.
4. Mariela gana $50,000 y no maneja el Renault
| Mariela |
| 50,000 |
| * |
5. El que manjera el Chevrolet gana el doble que Hortencia y ella $150,000 más que Ana.
| Hortencia | Ana | |
| 2x | x | x-150 |
| Chevrolet |
Ahora comencemos a unir la tabla:
6. Observense cuidadosamente las tablas de los puntos 2 y 5, notarán que existen partes en común, de ellas se obtiene que 2x=c+100 y x+150=d. Antes de unirlas tendremos que hacer algunas conversiones para que los campos comunes sean todos iguales:
| Jaime | Ana | |||
| 2x | x-100 | x-50 | x-150 | |
| Chevrolet | Volkswagen |
7. Unamos las tablas del punto cinco con las tablas del punto 6.
- Es obvio que que el propietario del volkswagen tiene que estar entre Hortencia y Ana pues x>x-50>x-150
- ¿Que pasa con Jaime? no tenemos una idea clara del valor de 2x-100 como para saber si debemos colocarlo entre el dueño del Chevrolet y Hortencia o entre Hortencia y el dueño del Volkswagen, por tanto, primero debemos de estimar el valor de x. Ana nos da una buena pista, ella gana x-150 y sabemos que nadie trabaja de a gratis, por tanto ese número debe de ser positivo, es decir, x-150gt;0, o despejando x>150.
_____Ahora, si Jaime se encontrara a la derecha de Hortencia, tendríamos que x>2x-100, de donde 100>x, lo cual ya sabemos falso (¡recuerden a Ana!). Por tanto, Jaime se encuentra a la izquierda de Hortencia.
| Jaime | Hortencia | Ana | ||
| 2x | 2x-100 | x | x-50 | x-150 |
| Chevrolet | Volkswagen |
8. Tratemos de ubicar ahora a Mariela, sabemos que gana 50, por tanto, su posición debe estar muy cerca del extremo derecho. Ya habíamos dicho que x es mayor a 150, así que x-50 es mayor a 100, por tanto, ella se encuentra a la derecha del poseedor del Volkswagen. Por otro lado, sabemos que el dueño del Volkswagen es Emmanuel o Guillermo, en cualquier caso, ellos ganan el doble que alguno de sus compañeros a la derecho, si fuera del caso de Mariela, tendríamos que x-50 es el doble de 50, es decir, 100, por tanto x=50 que es falso, por tanto ambos ganan más que el doble de Mariela y además x-50 es el doble de x-150:
x-50=2(x-150)
x-50=2x-300
x=250
Despejando: ¡No solo ubicamos la posición de Mariela!, también sabemos cuanto gana cada quién.x-50=2x-300
x=250
| Jaime | Hortencia | Ana | Mariela | ||
| 500 | 400 | 250 | 200 | 100 | 50 |
| Chevrolet | Volkswagen |
9. Casi hemos logrado nuestro objetivo, solo nos faltan dos nombres y tres autos ¿Recuerdan el punto número 3?, Emmanuel no maneja el Volkswagen, por tanto el maneja el Chevrolet y quien gana la mitad que él (punto número 2) es quien maneja el Dodge.
| Emmanuel | Jaime | Hortencia | Ana | Mariela | |
| 500 | 400 | 250 | 200 | 100 | 50 |
| Chevrolet | Dodge | Volkswagen |
10. Ahora podemos estar seguros que Guillermo gana 200 y Ana maneja el Nissan (ambas por el punto número 1). Como Mariela no maneja el Renault (punto 5), la única opción es que lo haga Jaime. Así Mariela tiene un Ford y hemos terminado.
| Emmanuel | Jaime | Hortencia | Guillermo | Ana | Mariela |
| 500 | 400 | 250 | 200 | 100 | 50 |
| Chevrolet | Renault | Dodge | Volkswagen | Nissan | Ford |
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