Solución 4.2

¿Cuantas diagonales tiene un polígono regular?, vamos a contarlas. Un polígono de $n$ lados tiene $n$ vértices (o esquinas), de cada vértice podemos trazar $n-1$ líneas, una a cada uno de los $n-1$ vértices restantes, de esas líneas $2$ son lados, por tanto las restantes $n-3$ son diagonales.
      Ahora, por cada vértice tenemos $n-3$ diagonales, PERO CUIDADO, cada diagonal llega a dos vértices, por tanto tendremos que dividir entre dos, así que en total tenemos $\frac{n(n-3)}{2}$
      Queremos el polígono con el doble de diagonales que de lados, entonces si nuestro polígono tiene $n$ lados, debe de tener $2n$ diagonales, así:
$$\begin{eqnarray*} 2n &=& \frac{n(n-3)}{2}\\ 4n &=& n(n-3)\\ 4n &=& n^2 - 3n\\ 0 &=& n^2 - 7n\\ 0 &=& n(n-7) \end{eqnarray*}$$ La última igualdad nos dice que lo que pedimos es cierto cuando $n=0$ y cuando $n=7$, como un polígono no puede tener cero lados, entonces la única posibiliad y respuesta a este ejercício es que El heptágono tiene siete lados y catorce diagonales