Solución 2018, 5.9

Y después de estar activo durante dos semanas, por fin les publico la solución del último reto de este ciclo escolar, felicidades a quienes lograron enviar la solución.

Solución 2018, 5.7

Escribamos el número de la siguiente forma: /$abcdef/$, de este modo, cada letra representa un dígito.

Sabemos que todas las cifras son pares, así que al menos una debe de repetirse.

La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera. Esto se representa de la siguiente manera: /$a=\frac{e}{3}/$ y /$a=\frac{c}{2}/$. Sin embargo, aquí lo importante es darse cuenta de lo que esto implica, la primer parte de este enunciado implica que si al primer dígito lo multiplicamos por tres, entonces nos dará otro dígito, la única posibilidad a esto es /$2/$ (el porqué no es cero se queda de tarea). En conclusión: /$e=6/$ y /$c=4/$.

La segunda es la menor de todas: Aquí la única posibilidad es que /$b=0/$

La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta, es decir /$f=d-e=f-6/$, de donde es obvio que /$d=8/$ y /$f=2/$

Por lo tanto, es número buscado es: /$204862/$.

Solución 2018, 5.6

Llamemos /$g/$ al número de garzas y /$p/$ al número de postes. Entonces tenemos que:
1. Si acomodamos una garza por poste sobra una, es decir, el número de garzas menos uno es igual número de postes: /$g-1=p/$
2. Si acomodamos dos garzas por poste sobra un poste, es decir, el número de postes menos uno es igual a la mitad de garzas: /$p-1 = \frac{g}{2}/$
Ahora, la primera ecuación la podemos escribir como /$g = p+1/$ y con ella sustuimos en la segunda ecuación
\begin{align*} p-1 &= \frac{p+1}{2} \\ 2p - 2 &= p + 1 \\ 2p - p &= 1 + 2 \\ p &= 3 \end{align*} Por lo tanto, hay tres postes y cuatro garzas.

Solución 2018, 5.5

Centrémonos primero en los apostadores A y B, cada uno tiene tres aciertos, así que entre los dos tienen seis aciertos, como solo fueron cinco partidos y seis aciertos, forzosamente deben de tener al menos un resultado positivo en común. Al analizar sus tarjetas podemos observar que solo tuvieron una única coincidencia, la cual se encuentra en el cuarto partido. De lo anterior se infiere que en el cuarto partido, el equipo local ha empatado.
     En los partidos restantes, los jugadores A y B no tienen coincidencias, por lo tanto cada uno de los dos aciertos que tuvieron, son distintos al del otro jugador, además podemos afirmar que los resultados reales se encuentran entre sus pronósticos ¿por qué? porque entre los dos (sin contar el cuarto partido) tienen cuatro aciertos todos distintos, al ser solo cuatro partidos, entre los dos acertaron a todos ellos.
     Gráficamente veamos como va quedando nuestra tabla de resultados reales, en rojo los resultados que ya conocemos, en azul los las predicciones no confirmadas del jugador A y en negro las del B.

	L	E	V
1	X		X
2	X	X
3	X	X
4		X
5	X		X

Ahora veamos el caso de C, no acertó el resultado para el cuarto partido, además de ello, si comparamos su tabla con la anterior, veremos que para el tercer y el quinto partido difiere de las predicciones de A y B, por lo anterior, los dos aciertos de C están en los partidos 1 y 2, cuyo resultado es local. Así la tabla de resultados se simplifica a:

	L	E	V
1	X
2	X
3	X	X
4		X
5	X		X

Con base en la tabla anterior, notemos que las predicciones de B fallan para los partidos uno y dos, por lo tanto las dos predicciones acertadas de este jugador (sin contar el cuarto partido) son el tercero y el quinto partido. Así la tabla finalmente queda:

	L	E	V
1	X
2	X
3	X
4		X
5	X

Donde podemos observar que El equipo local gana cuatro partidos y empata uno.

Solución 2018, 5.4

Supongamos que el vendedor tiene un producto que originalmente costaba $100.00, entonces al aumentar el precio en un 20% pasará a tener un valor de $120.00, ahora si a ese precio le desconstamos el 20% solo costará el 80%, entonces el precio final será de $96.00, entonces el precio solo cambió un 4% menos

Solución 2018, 5.3

Siempre que hay un grupo de cuatro se juegan 6 partidos. En la primera ronda hay /$\frac{16}{4} = 4/$ grupos; en la segunda hay /$\frac{8}{4} = 2/$; en la tercera hay /$\frac{4}{4} = 1/$, y después viene el último partido. Por lo tanto, se jugaron un total de /$6\times(4+2+1) + 1 = 43/$ partidos.

Solución 2018, 5.2

Como cada equipo se enfrentó exactamente una vez a cada uno de los otros, hubo exactamente /$\frac{10\times9}{2} = 45/$ partidos. Si todos los partidos hubieran sido empatesse habrían obtenido /$90/$ puntos entre los equipos. La diferencia /$130-90=40/$ corresponde a los partidos que no fueron empates. Por lo anterior, hubo /$5/$ empates en el torneo.

Solución 2018, 5.1

Flor y Cristina nacieron el mismo mes, así que ambas nacieron en marzo. El número de día del cumpleaños de Cristina y Daniela es el mismo, por lo tanto cada una cumple años un día 20. Con esos datos podemos deducir que Cristina nación en marzo 20, Flor en marzo 1, Daniela en julio 20 y Blanca en mayo 17.

Solución 2018, 4.9

Si el número de personas que quedaron adelante fue el doble que los quedaron atras. Entonces el triple de los que quedaron atras más el son igual a 28, es decir, el triple es igual a 27 y por tanto, el número de personas que quedaron atrás fue de 9 y adelante de 18. Así Ramón llegó en el décimo noveno lugar.

Tareas 2018, semana 30

Hola a todas.

La próxima semana iniciamos formalmente el quinto y último bimestre de este ciclo escolar. Para la próxima semana les pido lleven sus avances de los proyectos finales (fotografías de sus dioramas/objetos técnicos o impresiones de sus revistas) con el fin de comenzar a ensayar la presentación del mismo (recuerden que la fecha final es la primer semana de junio).

Éxito a todas.

Solución 2018, 4.8

Primero dividamos las doce monedas en tres grupos A, B y C de cuatro monedas cada uno. Ahora hagamos nuestras pesadas:
- Pesada #1: Pesemos los montones A y B, tenemos tres posibles resultados:
      1. A es más pesado, entonces la balanza se inclina hacia ese montón, por tanto, la moneda falsa está ahí.
      2. B es más pesado, entonces la moneda falsa está ahí.
      3. A y B pesan lo mismo, entonces la moneda falsa está en el montón C.

El montón que tiene la moneda falsa es un montón de cuatro monedas, dividámoslo en dos montones de dos monedas y hagamos con estos dos pares nuestra segunda pesada. Claramente la moneda falsa estará en el par de moneda que incline la moneda hacia abajo.

Tomemos el par donde está la moneda falsa, con ellas habamos nuestra tercer pesada (una moneda a cada lado de la balanza), la que pese más será la moneda falsa y habremos terminado.

Solución 2018, 4.6 & 4.7

Es imposible recorrer todos los cuartos una única vez comenzando donde se encuentra el ratón, esta es la razón:

Pintemos los cuartos como si fuera un tablero de ajedrez (vean la figura). Notemos lo siguiente:
      1.   Hay 25 cuartos cian y 24 cuartos blancos.
      2.   Cada vez que el ratón cruza una puerta cambiamos de color.
      3.   Para recorrer todos los cuartos el ratón debe atravezar 48 puertas.
      4.   El ratón comienza en un cuarto blanco
De los puntos 2, 3 y 4 debe ser claro que el ratón tendría que pasar por 25 cuartos blancos y 24 cuartos negros ¡justo lo contrario al primer punto! por lo que podemos concluir que el ratón no puede visitar todos los cuartos.

Solución 2018, 4.5

Llamemos /$a, b, c, d/$ a los pesos de las cuatro cajitas. Notemos que en entonces calcular todos los pesos posibles por parejas significa sumar todas las posibles combinaciones de estos cuatro números: así que cada caja aparecerá tres veces (no se puede pesar una caja con sigo misma), entonces al sumar esos pesos tendremos que el peso total es igual a haber pesado tres veces cada cajita, es decir, /$5kg + 6kg + 8kg + 9kg + 11kg + 12kg = 51kg/$ es igual a tres veces el peso de las cuatro juntas. Por lo tanto, las cuatro cajitas juntas pesan /$\frac{51}{3}=17kg/$

Solución 2018, 4.4

Si pasado mañana es sábado, entonces mañana es viernes y por lo tanto hoy es jueves

Si hoy es jueves entonces ayer fue miércoles y por lo tanto anteayer fue martes siendo esta la solución.

Solución 2018, 4.3

Para este problema existen varias soluciones válidas. La que mostraré a continuación, acompañada de imágenes, es una de las más cortas: Comenzamos con la configuración original: - El auto #3 se mueve "un cuadro" a la izquiera
- El auto #4 se mueve un cuadro hacia arriba
- El auto #5 se mueve dos cuadros a la derecha
- Los autos #7 y #11 dos cuadros hacia arriba
- El auto #6 un cuadro hacia arriba
- Los autos #8 y #12 se mueven a la izquierda hasta que topen con la pared
- Los autos #13 y #14 un cuadro hacia arriba
- El auto #10 un cuadro a la derecha
Ahora el auto #1, puede salir simplemente moviendose hacia abajo.

Solución 2018, 4.2

Llamemos /$x/$ a la cantidad de dinero que gana Pedro y /$y/$ a la cantidad de dinero que gana Juan. Entonces tenemos las siguientes dos ecuaciones: \begin{align} x &= 2y - 10,000\\ y &= 3x - 22,000 \end{align} Ahora resolvamos el sistema de ecuaciones: \begin{align} x &= 2\left( 3x-22,000 \right) - 10,000\\ x &= 6x - 44,000 - 10,000\\ x &= 6x - 54,000\\ 5x &= 54,000\\ x &= 10,800\\ \\ y &= 3\times 10,800 - 22,000\\ y &= 32,400 - 22,000\\ y &= 10,400 \end{align} Por lo tanto entre los dos ganan /$10,800 + 10,400 = 21,200/$.

Solución 2018, 4.1

Sabemos que la frase Cualquier carta que tenga de un lado una vocal tiene un número par del otro lado es falsa, esta frase la podemos escribir de la forma Si tiene una vocal de un lado entonces tiene un par del otro lado la cual será falsa únicamente cuando tengamos una vocal en el anverso y número impar en el reverso. Por tanto Astrid dio vuelta a la carta que muestra el número tres siendo esta la solución

Solución 2018, 3.9

Si conocemos el número de flores y hojas del matorral en cierto año, podemos calcular el número de flores y hojas del siguiente año: el nuevo número de flores coincide con el antiguo número de hojas (porque donde había hoja crecerá una flor) y el nuevo número de hojas es el doble del antiguo número de flores (porque donde había flor crecerán 2 hojas). Entonces, si el año pasado había /$70/$ flores, hoy hay /$2\times70 =140/$ hojas; dentro de un año habrá /$140/$ flores y dentro de dos años habrá /$280/$ hojas.

Solución 2018, 3.9

Llamemos /$n/$ al más pequeño de esos tres números, entonces:
\begin{align} (n) + (n+2) + (n+4) &= 27\\ 3n + 6 &= 27\\ 3n &= 21\\ n &= 7 \end{align} De donde el primer número es siete.

Solución 2018, 3.7

La manera más facil de obtener las cincuenta monedas es abriendo el baul, dos cofres y cinco cajas, lo cual nos da un total de ocho cerraduras por abrir.