Este es un problema de una única ecuación con una única incógnica, el problema real aquí consiste en obtener dicha ecuación a partir de los datos. Antes de comenzar, he de hacer notar que en este tipo de problemas es más fácil comenzar por el final que por el inicio ¿Cuándo saber si iniciamos por el final o por el inicio un problema? en realidad no existe una regla, es cuestión de experiencia y un poco de intuición.
Sea /$x/$ la última cantidad dividida. Entonces sabemos que esta cantidad surgió cuando el contador dividió el dinero que aún quedaba en la caja, es decir, antes de que el contador dividiera había /$3x + 1/$ monedas.
La cantidad anterior surgió cuando el tercer marinero hizo su propia divición, de hecho sabemos que -sin contar la moneda que tiró al mar- esta cantidad es igual a dos terceras partes del dinero que aún quedaba, en conclusión, antes de que el tercer marinero hiciera su repartición había tres medios de dicha cantidad más uno: \[ \frac{3}{2} (3x + 1) + 1 = \frac{9x + 3}{2} + 1 = \frac{9x + 5}{2} \]
Análogamente, la cantidad anterior surgió cuando el segundo marinero hizo su propia divición, de hecho sabemos que -sin contar la moneda que tiró al mar- esta cantidad es igual a dos terceras partes del dinero que aún quedaba, en conclusión, antes de que el segundo marinero hiciera su repartición había tres medios de dicha cantidad más uno: \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{9x + 5}{2} + 1 = \frac{27x + 19}{4} \]
Finalmente, la cantidad anterior surgió cuando el primer marinero hizo su propia divición, de hecho sabemos que -sin contar la moneda que tiró al mar- esta cantidad es igual a dos terceras partes del dinero que originalmente se encontraba en el cofre, en conclusión, antes de que el primer marinero hiciera su repartición había tres medios de dicha cantidad más uno: \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{27x + 19}{4} + 1= \frac{81x + 65}{8} \]
Noten ahora que la última fracción tiene que ser un número entero, pues indica el número de monedas, además noten que tanto 65 como 81 son casi múltiplos de 8, de hecho ambos números son un múltiplo de ocho más uno, por esta razón la única manera que la fracción sea entera, es que /$x/$ sea un múltiplo de ocho menos uno (el porqué esto funciona tienen que verlo en la clase de matemáticas dentro del tema "divisibilidad", típicamente en primero de secundaria). Usando el argumento anterior tenemos que las únicas posibilidades para /$x/$ son: {7, 15, 23, ...}, habrá que provar cada una de ellas. Cuando /$x = 23/$ tenemos: \[ \frac{81 \cdot 23 + 65}{8} = \frac{1863 + 65}{8} = \frac{1928}{8} = 241 \]
Por lo tanto en el cofre había un total de 241 monedas
Sea /$x/$ la última cantidad dividida. Entonces sabemos que esta cantidad surgió cuando el contador dividió el dinero que aún quedaba en la caja, es decir, antes de que el contador dividiera había /$3x + 1/$ monedas.
La cantidad anterior surgió cuando el tercer marinero hizo su propia divición, de hecho sabemos que -sin contar la moneda que tiró al mar- esta cantidad es igual a dos terceras partes del dinero que aún quedaba, en conclusión, antes de que el tercer marinero hiciera su repartición había tres medios de dicha cantidad más uno: \[ \frac{3}{2} (3x + 1) + 1 = \frac{9x + 3}{2} + 1 = \frac{9x + 5}{2} \]
Análogamente, la cantidad anterior surgió cuando el segundo marinero hizo su propia divición, de hecho sabemos que -sin contar la moneda que tiró al mar- esta cantidad es igual a dos terceras partes del dinero que aún quedaba, en conclusión, antes de que el segundo marinero hiciera su repartición había tres medios de dicha cantidad más uno: \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{9x + 5}{2} + 1 = \frac{27x + 19}{4} \]
Finalmente, la cantidad anterior surgió cuando el primer marinero hizo su propia divición, de hecho sabemos que -sin contar la moneda que tiró al mar- esta cantidad es igual a dos terceras partes del dinero que originalmente se encontraba en el cofre, en conclusión, antes de que el primer marinero hiciera su repartición había tres medios de dicha cantidad más uno: \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{27x + 19}{4} + 1= \frac{81x + 65}{8} \]
Noten ahora que la última fracción tiene que ser un número entero, pues indica el número de monedas, además noten que tanto 65 como 81 son casi múltiplos de 8, de hecho ambos números son un múltiplo de ocho más uno, por esta razón la única manera que la fracción sea entera, es que /$x/$ sea un múltiplo de ocho menos uno (el porqué esto funciona tienen que verlo en la clase de matemáticas dentro del tema "divisibilidad", típicamente en primero de secundaria). Usando el argumento anterior tenemos que las únicas posibilidades para /$x/$ son: {7, 15, 23, ...}, habrá que provar cada una de ellas. Cuando /$x = 23/$ tenemos: \[ \frac{81 \cdot 23 + 65}{8} = \frac{1863 + 65}{8} = \frac{1928}{8} = 241 \]
Por lo tanto en el cofre había un total de 241 monedas
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